Mengenal Geometri Non-Euclidean: Geometri Sferis dan Hiperbolik

GEBRAK.ID–Geometri non-Euclidean secara sederhana dapat diartikan sebagai cabang geometri yang tidak mengikuti seluruh aturan geometri Euclidean. Istilah ini sering digunakan secara khusus untuk menyebut geometri hiperbolik, tetapi dalam penggunaan yang lebih luas mencakup beberapa sistem geometri lain, terutama geometri sferis dan hiperbolik.

Kedua jenis geometri tersebut berbeda dari geometri Euclidean, tetapi perbedaannya masih dapat dipahami dengan membandingkan beberapa konsep dasar, seperti garis sejajar dan jumlah sudut dalam sebuah segitiga.

Perbedaan paling mendasar dapat dilihat dari pertanyaan mengenai sebuah garis dan satu titik yang berada di luar garis tersebut. Dalam geometri Euclidean, hanya terdapat tepat satu garis yang dapat dibuat melalui titik tersebut dan sejajar dengan garis yang diberikan.

Dalam geometri sferis, tidak terdapat garis yang sejajar dalam pengertian yang sama. Sementara dalam geometri hiperbolik, terdapat tak terhingga banyak garis yang dapat melalui titik tersebut tanpa berpotongan dengan garis awal.

Perbedaan ini juga memengaruhi jumlah sudut dalam segitiga.

Dalam geometri Euclidean, jumlah ketiga sudut sebuah segitiga selalu tepat 180 derajat. Dalam geometri sferis, jumlahnya lebih besar dari 180 derajat. Sebaliknya, dalam geometri hiperbolik, jumlah ketiga sudut segitiga selalu kurang dari 180 derajat.

Postulat Kelima Euclid

Salah satu sumber utama perkembangan geometri non-Euclidean adalah postulat kelima dalam Elements karya Euclid.

Postulat tersebut berkaitan dengan garis sejajar. Secara sederhana, postulat itu menyatakan bahwa jika sebuah garis memotong dua garis lainnya dan jumlah sudut dalam pada satu sisi kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis tersebut pada akhirnya akan berpotongan di sisi tersebut apabila diperpanjang tanpa batas.

Selama sekitar 2.000 tahun, matematikawan mencoba membuktikan bahwa postulat tersebut sebenarnya dapat diturunkan dari postulat Euclid lainnya.

Sebagian matematikawan juga mencoba mengganti atau memodifikasinya untuk melihat apakah sistem geometri yang berbeda dapat dibangun.

Upaya tersebut akhirnya menghasilkan perkembangan besar dalam matematika pada abad ke-19.

Matematikawan Rusia Nikolay Lobachevsky pada 1829 dan matematikawan Hungaria János Bolyai pada 1831 secara independen menerbitkan uraian mengenai suatu sistem geometri yang mempertahankan postulat dan gagasan dasar Euclid lainnya, tetapi tidak menggunakan postulat sejajar dalam bentuk Euclidean.

Geometri yang kemudian dikenal sebagai geometri hiperbolik tersebut menjadi salah satu contoh utama geometri non-Euclidean.

Dua Jalur Perkembangan Geometri Non-Euclidean

Secara historis, perkembangan geometri non-Euclidean berlangsung melalui dua jalur utama.

Jalur pertama berkaitan dengan upaya manusia memahami langit, pergerakan bintang, planet, serta bentuk Bumi.

Sejak zaman kuno, manusia menyadari bahwa permukaan Bumi memiliki bentuk yang mendekati bola. Pemahaman tersebut sangat penting untuk navigasi jarak jauh dan kemudian untuk kegiatan pemetaan serta survei dalam skala besar.

Jalur kedua berasal dari usaha memahami postulat kelima Euclid.

Kedua jalur tersebut kemudian berkembang menjadi cabang-cabang geometri yang memiliki penerapan dan karakteristik berbeda.

Geometri Sferis

Geometri sferis adalah geometri yang mempelajari permukaan bola.

Sejak zaman dahulu, manusia telah menyadari bahwa jalur terpendek antara dua titik di permukaan Bumi tidak selalu berupa garis lurus jika dilihat pada peta datar.

Sebaliknya, jalur tersebut mengikuti bagian dari lingkaran besar atau great circle.

Astronom Yunani Claudius Ptolemy juga telah menjelaskan bahwa permukaan daratan dan lautan secara keseluruhan memiliki bentuk bola. Setiap bidang yang melewati pusat bola akan membentuk lingkaran besar pada permukaannya.

Dalam geometri sferis, lingkaran besar memiliki peran yang mirip dengan garis lurus dalam geometri Euclidean.

Hal ini terjadi karena bagian dari lingkaran besar dapat menjadi jalur terpendek antara dua titik di permukaan bola.

Kurva semacam itu dapat disebut lurus secara intrinsik, yaitu lurus jika dilihat berdasarkan geometri permukaan itu sendiri, bukan berdasarkan cara permukaan tersebut terlihat dari luar.

Namun, konsep garis intrinsik dan jalur terpendek tidak selalu identik dalam setiap situasi.

Segitiga pada Permukaan Bola

Dalam geometri Euclidean, tiga garis yang saling berpotongan dapat membentuk segitiga dengan jumlah sudut 180 derajat.

Hal tersebut berbeda pada permukaan bola.

Tiga busur lingkaran besar yang saling berpotongan dapat membentuk segitiga sferis. Jumlah sudut dalam segitiga tersebut selalu lebih besar dari 180 derajat.

Semakin besar ukuran segitiga sferis, semakin besar pula penyimpangan jumlah sudutnya dari 180 derajat.

Hal ini merupakan salah satu ciri paling jelas yang membedakan geometri sferis dari geometri Euclidean.

Jika sebuah segitiga digambar pada bola yang berbeda ukuran, bentuk relatifnya dapat terlihat serupa, tetapi skalanya berubah. Dalam konteks geometri diferensial, geometri sferis dapat dipahami sebagai geometri pada permukaan yang memiliki kelengkungan positif konstan.

Hubungan Geometri Sferis dengan Peta

Geometri sferis memiliki hubungan yang sangat erat dengan ilmu pemetaan.

Permukaan Bumi yang berbentuk hampir bulat harus diproyeksikan ke bidang datar agar dapat dibuat menjadi peta.

Masalahnya, tidak mungkin memindahkan seluruh permukaan bola ke bidang datar tanpa menimbulkan distorsi.

Sebuah proyeksi peta dapat mempertahankan beberapa karakteristik tertentu, seperti bentuk lokal, sudut, luas, atau jarak, tetapi tidak semuanya dapat dipertahankan secara sempurna pada saat yang sama.

Karena kebutuhan para kartografer untuk menghasilkan peta dengan karakteristik tertentu, penelitian mengenai proyeksi permukaan bola menjadi salah satu pendorong penting perkembangan geometri sferis.

Geometri Eliptik

Geometri eliptik merupakan istilah yang digunakan untuk formalisasi aksiomatik tertentu dari geometri sferis.

Dalam pendekatan ini, setiap pasangan titik yang saling berlawanan pada bola atau antipodal diperlakukan sebagai satu titik.

Konsep tersebut menghasilkan sistem geometri yang memiliki karakteristik berbeda dari geometri Euclidean.

Pada abad ke-19, matematikawan Jerman Bernhard Riemann juga mengembangkan cara pandang intrinsik terhadap geometri sferis.

Konsep yang dikenal sebagai bola Riemann atau Riemann sphere kemudian menjadi bagian penting dalam pembelajaran analisis kompleks di tingkat universitas.

Namun, istilah geometri Riemannian tidak seharusnya disamakan begitu saja dengan geometri sferis. Geometri Riemannian merupakan bagian dari geometri diferensial yang menyediakan cara untuk mendeskripsikan berbagai permukaan secara intrinsik, bukan hanya permukaan bola.

Geometri Hiperbolik

Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk utama geometri non-Euclidean.

Berbeda dengan geometri sferis yang memiliki kelengkungan positif, geometri hiperbolik berkaitan dengan permukaan yang memiliki kelengkungan negatif konstan.

Salah satu ciri utamanya adalah keberadaan banyak garis yang dapat melewati sebuah titik di luar garis tertentu tanpa pernah berpotongan dengan garis tersebut.

Inilah yang membuat geometri hiperbolik berbeda secara fundamental dari geometri Euclidean.

Dalam geometri Euclidean, hanya ada satu garis sejajar melalui sebuah titik di luar garis. Dalam geometri hiperbolik, jumlahnya tidak terbatas.

Pada pertengahan abad ke-19, matematikawan juga menunjukkan bahwa permukaan dengan geometri hiperbolik harus memiliki kelengkungan negatif konstan.

Namun, muncul pertanyaan berikutnya: apakah permukaan yang benar-benar memiliki geometri hiperbolik dapat diwujudkan secara lengkap?

Pseudosphere dan Masalah Model Hiperbolik

Pada 1868, matematikawan Italia Eugenio Beltrami memperkenalkan sebuah permukaan yang dikenal sebagai pseudosphere.

Permukaan tersebut memiliki kelengkungan negatif konstan sehingga dapat memberikan gambaran mengenai geometri hiperbolik.

Namun, pseudosphere bukanlah model lengkap untuk seluruh geometri hiperbolik.

Salah satu masalahnya adalah garis intrinsik tertentu pada pseudosphere dapat berpotongan dengan dirinya sendiri. Garis tersebut juga tidak dapat selalu diteruskan melewati batas tertentu.

Hal seperti ini tidak terjadi dalam geometri hiperbolik yang lengkap.

Pada 1901, matematikawan Jerman David Hilbert kemudian membuktikan bahwa tidak mungkin membangun permukaan hiperbolik lengkap menggunakan fungsi analitik riil dalam pengertian tertentu.

Pada masa itu, permukaan matematika umumnya dipahami melalui fungsi-fungsi analitik riil. Akibatnya, pencarian terhadap model permukaan hiperbolik lengkap sempat menghadapi jalan buntu.

Model Hiperbolik Lengkap

Perkembangan selanjutnya kembali membuka kemungkinan untuk membangun model hiperbolik.

Pada 1955, matematikawan Belanda Nicolaas Kuiper membuktikan keberadaan permukaan hiperbolik lengkap.

Kemudian pada dekade 1970-an, matematikawan Amerika William Thurston menjelaskan konstruksi permukaan hiperbolik.

Menariknya, konsep permukaan hiperbolik bahkan dapat divisualisasikan melalui bentuk fisik. Salah satu contoh yang terkenal adalah model permukaan hiperbolik yang dibuat dengan teknik merajut atau crochet.

Model fisik semacam itu membantu menunjukkan bagaimana geometri dengan kelengkungan negatif dapat memiliki struktur yang sangat berbeda dari bidang datar.

Tiga Model Geometri Hiperbolik

Pada abad ke-19, matematikawan mengembangkan tiga model penting untuk membantu memahami geometri hiperbolik.

Ketiganya dapat dipandang sebagai cara memetakan permukaan hiperbolik ke bidang yang lebih mudah divisualisasikan.

Seperti halnya peta Bumi yang mengalami distorsi ketika permukaan bola diproyeksikan ke bidang datar, model-model hiperbolik juga memiliki distorsi tertentu.

Meski demikian, setiap model mempertahankan karakteristik tertentu sehingga sangat berguna untuk mempelajari geometri hiperbolik.

Model Klein-Beltrami

Pada 1869–1871, Eugenio Beltrami dan matematikawan Jerman Felix Klein mengembangkan model lengkap pertama untuk geometri hiperbolik.

Dalam model Klein-Beltrami, permukaan hiperbolik dipetakan ke bagian dalam sebuah lingkaran.

Garis-garis geodesik pada permukaan hiperbolik ditampilkan sebagai tali busur atau chord di dalam lingkaran tersebut.

Keunggulan model ini adalah kemampuannya mempertahankan konsep kelurusan. Garis hiperbolik terlihat sebagai garis lurus pada model.

Namun, ada konsekuensinya. Sudut mengalami distorsi sehingga model tersebut tidak mempertahankan ukuran sudut sebenarnya.

Model Disk Poincaré

Sekitar 1880, matematikawan Prancis Henri Poincaré mengembangkan model lain yang dikenal sebagai model disk Poincaré.

Dalam model ini, permukaan hiperbolik dipetakan ke bagian dalam sebuah lingkaran atau disk.

Namun, geodesik hiperbolik tidak digambarkan sebagai garis lurus biasa. Geodesik ditampilkan sebagai bagian dari lingkaran yang memotong batas disk pada sudut siku-siku.

Diameter disk juga dapat menjadi geodesik dalam model ini.

Keunggulan penting model disk Poincaré adalah kemampuannya mempertahankan sudut. Dengan demikian, sudut yang terlihat pada model sesuai dengan hubungan sudut dalam geometri hiperbolik.

Sebagai gantinya, jarak mengalami distorsi.

Model Setengah Bidang Atas Poincaré

Poincaré juga mengembangkan model ketiga yang dikenal sebagai model upper half-plane atau setengah bidang atas.

Dalam model ini, bidang hiperbolik direpresentasikan sebagai seluruh wilayah di atas sumbu x.

Geodesik hiperbolik digambarkan sebagai setengah lingkaran yang pusatnya berada pada sumbu x. Garis vertikal yang tegak lurus terhadap sumbu x juga menjadi geodesik.

Sama seperti model disk Poincaré, model ini mempertahankan ukuran sudut tetapi mengalami distorsi terhadap jarak.

Perbandingan Tiga Geometri

Perbedaan antara geometri Euclidean, sferis, dan hiperbolik dapat dirangkum melalui beberapa karakteristik utama.

• Geometri Euclidean: melalui sebuah titik di luar garis hanya terdapat satu garis yang sejajar dengan garis tersebut.
• Geometri sferis: konsep garis sejajar dalam pengertian Euclidean tidak berlaku karena garis-garis besar pada akhirnya akan berpotongan.
• Geometri hiperbolik: terdapat tak terhingga banyak garis yang dapat melalui titik di luar sebuah garis tanpa berpotongan dengannya.

Perbedaan juga terlihat pada jumlah sudut segitiga.

• Euclidean: jumlah sudut segitiga sama dengan 180 derajat.
• Sferis: jumlah sudut segitiga lebih besar dari 180 derajat.
• Hiperbolik: jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat.

Perbedaan tersebut bukan sekadar variasi dalam cara menggambar bentuk. Setiap geometri memiliki aturan internal yang konsisten dan dapat digunakan untuk menggambarkan jenis ruang tertentu.

Mengapa Geometri Non-Euclidean Penting?

Geometri non-Euclidean menunjukkan bahwa matematika tidak selalu harus menggambarkan dunia sebagai bidang datar.

Geometri Euclidean sangat berguna untuk memahami banyak objek dan situasi sehari-hari. Namun, ketika manusia berhadapan dengan permukaan Bumi, ruang yang melengkung, atau konsep matematika yang memiliki kelengkungan berbeda, sistem geometri lain menjadi sangat berguna.

Geometri sferis membantu manusia memahami navigasi, pemetaan, astronomi, dan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan permukaan bola.

Sementara itu, geometri hiperbolik membuka cara baru dalam memahami ruang dengan kelengkungan negatif dan menjadi bagian penting dari perkembangan matematika modern.

Penelitian mengenai geometri non-Euclidean juga berperan dalam perkembangan geometri diferensial dan pemahaman yang lebih luas mengenai bentuk serta struktur ruang.

Dari Postulat Euclid ke Beragam Bentuk Ruang

Selama sekitar dua ribu tahun, para matematikawan berusaha memahami apakah postulat kelima Euclid benar-benar merupakan konsekuensi dari postulat lainnya.

Pertanyaan tersebut akhirnya membawa mereka pada kesimpulan yang jauh lebih menarik: postulat tersebut dapat diganti dengan aturan berbeda dan menghasilkan geometri yang tetap konsisten.

Dari sinilah muncul pemahaman bahwa geometri tidak hanya memiliki satu kemungkinan.

Permukaan bola menghasilkan aturan yang berbeda dari bidang datar. Ruang hiperbolik menghasilkan aturan yang berbeda lagi. Masing-masing tetap dapat dipelajari secara matematis dengan cara yang konsisten.

Perkembangan tersebut mengubah pandangan manusia terhadap matematika dan ruang. Geometri tidak lagi hanya dipahami sebagai ilmu mengenai bentuk-bentuk pada bidang datar, tetapi juga sebagai cara untuk memahami berbagai jenis ruang dan permukaan yang memiliki karakteristik berbeda.

Geometri non-Euclidean pada akhirnya menjadi salah satu bukti bahwa perubahan kecil dalam sebuah asumsi dasar dapat menghasilkan dunia matematika yang sepenuhnya berbeda, tetapi tetap logis dan konsisten.

(Damar Pratama/ https://www.britannica.com/).